Unu, doi, trei. Matematica absolut elementara - David Berlinski

UNU, DOI, TREI

David Berlinski porneste in aceasta incursiune pasionanta in domeniul matematicii elementare de la cateva intrebari simple, dar profunde in acelasi timp: Ce este un numar? Cum functioneaza cu adevarat adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea? Care e legatura dintre geometrie si logica? Dar dintre algebra si lumea in care traim? Pe masura ce descrie frumusetea si complexitatea din spatele acestor concepte atat de des folosite, incat par evidente si fara stralucire, Berlinski construieste o pledoarie indragostita pentru redescoperirea matematicii ca fundament al existentei.
Documentata, lucida, dar presarata pe alocuri cu cateva anecdote din lumea matematicii moderne si cu biografii pline de farmec ale unor matematicieni celebri din toate timpurile, cartea Unu, doi, trei. Matematica absolut elementara este o lectura utila, placuta si provocatoare atat pentru specialisti, cat si pentru publicul larg.

David Berlinski (n. 1942) este profesor de matematica, filozof si scriitor. A obtinut doctoratul in matematica la Princeton University. A predat matematica si filozofia la mai multe universitati din Statele Unite si din Franta, iar in prezent locuieste la Paris. Este autorul altor cateva celebre carti despre matematica: A Tour of the Ca leu lus, The Advent of the Algo rithm. The Idea that Rules the World si Infinite Aseent: A Short History of Ma thematics.


1. Craciun, Ileana (trad.)

II. Craciun, Dan (trad.)

Pentru Neal Kozodoy

Citim ca sa aflam ceea ce stim deja.

V. S. Naipaul

Introducere

Aceasta este o carticica despre matematica absolut ele mentara (MAE); asadar, o carte despre numere naturale, zero, numere negative si fractii. Nu este nici manual, nici tratat, dar nici o brosura de frunzarit in graba. Mi-ar placea sa cred ca ea joaca rolul unei ancore pentru celelalte carti ale mele despre matematica.

Matematicienii si-au imaginat intotdeauna ca matematica seamana cu o cetate, al carei orizont este dominat de trei turnuri marete, ministerele unei puternice culturi intelectuale - intam plator, a noastra. Aceste constructii impunatoare sunt inchinate Geometriei, Analizei si Algebrei: studiul spatiului, studiul tim pului si studiul simbolurilor si al structurilor.

Impozante precum ziguratele babiloniene, aceste edificii emana un aer sacru.

Terenul comun pe care se inalta este si el sacru, sfintit de pasul omului.

Acesta este domeniul matematicii absolut elementare. Multe parti ale matematicii sclipesc ispititor. Sunt exotice.

Matematica elementara, pe de alta parte, evoca lucruri din viata obisnuita: plata facturilor, marcarea zilelor de nastere, partajul datoriilor, taierea painii si masurarea distantelor. Este ceva pamantesc. Daca maine ar disparea manualele si, odata cu ele, toate comorile pe care le contin, ar dura secole pana sa redesco perim analiza matematica, dar numai cateva zile ca sa ne recu peram datoriile si, odata cu ele, toate numerele care le exprima.

10

DAVID BERLINSKI

Asa cum este predata si uneori folosita, matematica ele mentara necesita o imersiune intr-un univers aparent haotic. Este nevoie de rabdare, iar placerea se cere amanata. Virgulele din numerele zecimale par sa o ia razna, numerele negative devin pozitive, iar fractiile stau dintr-odata cu capul in jos.

Si cat fac trei patrimi impartite la sapte optimi? Calculatorul electronic a permis aproape oricui sa trateze astfel de intrebari cu o indiferenta rece. Rapid, exact si simplu, el face mai bine toate operatiile cu care oamenii se chinuiau acum o suta de ani. Senzatia ca in matematica elementara lucrurile ne sunt familiare - pe jumatate proaspete in minte, chiar daca pe jumatate uitate - este reconfortanta; la fel si calculatorul si computerul, in care avem o incredere excesiva, insa imperativele memoriei si tehnologiei ridica o intrebare evidenta: de ce ne-am osteni sa invatam ceea ce stim deja sau, cel putin, credeam ca stim?

Intrebarea se naste dintr-o confuzie. Tehnicile matematicii elementare sunt una, iar explicatiile lor, cu totul altceva. Oricine poate sa adune doua numere naturale - doi plus doi, de exemplu. Este insa mult mai greu sa spui ce inseamna adunarea si cum se justifica ea. Matematica explica sensul si ofera justificarea. Teoriile ce rezulta astfel se bazeaza pe aceeasi combinatie de arta si rafinament caracteristica oricarui demers intelectual complex.

Era atat de usor ca lucrurile sa fi stat altfel. In pofida unei necesitati imperioase, matematica elementara putea sa nu se lase exprimata intr-o teorie coerenta, astfel ca expunerea ei ar fi semanat cu o harta in care drumurile se despart fara nici un rost ori se sfarsesc intr-o harababura de nedescalcit. Dar teoria prin care matematica elementara este explicata si tehnicile ei sunt justificate este un construct intelectual coerent. Este plina de forta. Are sens. Nu este niciodata contraintuitiva. Si, astfel, este adecvata obiectului sau. Daca atunci cand vine vorba de cea mai simpla operatie matematica - tot adunarea - ramane

UNU, DOI, TREI

11

ceva ce nu intelegem, aceasta se intampla numai pentru ca nimic din natura (sau din viata) nu poate fi inteles pe deplin, asa cum ne-am dori.

Cu toate acestea, teoria rezultata este fundamentala. Nu va indoiti de asta!

Urmele educatiei din copilarie s-au pierdut in noapte. A ramas o singura idee, si astfel o singura idee predomina: aceea ca toate calculele si conceptele matematicii absolut elementare sunt guvernate de unicul act al numaratorii cu unu. Este o analiza bazata pe o economie a mijloacelor si o reducere a experientei la esenta sa, la fel de spectaculoasa ca toate obiectele stiintelor fizice.

Pana la sfarsitul secolului al XIX-lea, acest lucru nu a fost inteles. Si nici chiar un secol mai tarziu inca nu se bucura de o larga intelegere. Educatia scolara este de putin ajutor."Va rog sa uitati lucrurile pe care le-ati invatat la scoala", a scris mate maticianul german Edmund Landau in cartea sa Fundamentele analizei matematice,"nu le-ati invatat".

Din cand in cand, le voi cere si eu cititorilor sa uite cate ceva din ce au invatat.

Acum trebuie sa va impartasesc un secret. Unul bine cu noscut tuturor celor care scriu despre (sau predau) matematica: nimanui nu-i place foarte mult aceasta materie. Cel mai bine e s-o recunoastem de la bun inceput. Aidoma jocului de sah, matematica are puterea de a induce obsesii, dar rareori afectiune.

De ce trebuie sa fie asa? - ma refer la repulsia fata de ma tematica.

Exista doua motive evidente. Matematica il intampina pe novice cu o aura de stranietate, aproximativ proportionala cu numarul mare de simboluri pe care le utilizeaza. Exista in simbolismul matematic ceva suparator, pentru ca, desi solicita rabdarea, nu prea pare sa promita si placere.

La ce bun atata straduinta?

12

DAVID BERLINSKI

Daca aparatul simbolistic al matematicii o face sa fie mai putin apreciata, un alt impediment apare din pricina rationa mentelor pe care le foloseste. Matematica este o chestiune de demonstratie sau nu este nimic. Dar, cu certitudine, cere un anumit efort. Adeseori, chiar si in cea mai simpla demonstratie matematica exista detalii extrem de importante si, ceea ce este inca si mai rau, o diferenta innebunitoare intre structura com plicata a demonstratiei, pe de o parte, si lucrul simplu, evident care trebuie demonstrat, pe de alta parte. Nu exista nici un numar natural intre zero si unu. Cine s-ar indoi de asta? Si totusi trebuie demonstrat, pas cu pas. Pe baza unor notiuni dificile.

La ce bun atata straduinta?

Inevitabil, aici intervine o negociere subtila. In matematica, e nevoie mai intai de investitii inainte de a obtine un castig, iar ceea ce se castiga nu este niciodata la fel de palpabil precum ceea ce s-a investit. Este un schimb pe care multi oameni refuza sa-I faca.

Intr-adevar, la ce bun atata straduinta?

Intrebarea nu este lipsita de substanta. Merita un raspuns. In multe domenii ale matematicii, raspunsurile sunt evidente.

Geometria este studiul spatiului, substanta misterioasa dintre puncte. A trata cu indiferenta geometria inseamna a trata cu indiferenta lumea fizica. Acesta este unul dintre motivele pentru care elevii de liceu l-au acceptat dintotdeauna pe Euclid, fara tragere de inima, dar cu senzatia ca erau fortati sa invete ceva ce chiar le era util.

Si algebra? Aversiunea pe care aceasta materie o provoaca (in liceu) a fost intotdeauna compensata de senzatia ca simbo lurile ei au o putere magica de a stapani curgerea si structura lucrurilor. Subiectele vechilor manuale erau muncile campului si ingrasaminte le. Dar in cele moderne apar energia si masa. Einstein a avut nevoie numai de algebra de liceu pentru a crea teoria relativitatii restranse, dar i-a trebuit algebra de liceu, fara de care s-ar fi ratacit.

UNU, DOI, TREI

13

Analiza matematica a intrat serios in atentia matemati cienilor europeni sub forma asa-numitului"calcul". Ei au inteles aproape de indata ca le-a fost daruita cea dintai si, in unele privinte, cea mai mareata dintre teoriile stiintifice. A te indoi de importanta analizei matematice sau a minimaliza afirmatiile ei inseamna a ignora cel mai bogat si cel mai dezvoltat corp de cunostinte acumulat de specia umana.

Da, da. Totul este inaltator, dar matematica absolut elemen tara? Nu cu mult timp in urma, matematicianul francez Alain Connes a inventat termenul de"matematica arhaica" pentru a descrie spatiul in care ideile erau in stare embrionara si inca neseparate in discipline diferite. Este o expresie eleganta si o descriere potrivita. Si ne arata de ce matematica elementara, atunci cand este privita corect, are maretia absolutului. Este fundamentala si, aidoma limbajului, un act instinctiv al speciei umane.

O teorie a matematicii absolut elementare este o explicatie in termeni modemi a ceva inradacinat in imaginatie; dezvoltarea ei de-a lungul secolelor reprezinta un extraordinar exercitiu al constiintei de sine.

Iata justificarea straduintei: sentimentul ca, privind un loc vechi si familiar prin ochii matematicianului, putem castiga puterea de a-l vedea pentru prima oara.

Si asta nu e putin lucru.

Paris, 2010

1

o oaie, doua oi, trei. Urmeaza lana...

NUMERELE

Numerele naturale 1, 2, 3,... joaca un dublu rol in activitatea noastra obisnuita. Fara ele, nu ar putea sa existe numaratoarea si, in consecinta, nici raspuns la intrebarea Cat de multe? Un om care nu poate spune daca priveste o oaie sau doua oi nu poate sa identifice oaia. Se holbeaza pur si simplu la o gramada de lana pe niste copite. Numerele naturale sunt acelea care rezolva absenta notiunii de oaie."Crearea numerelor", remarca Thieny de Chartres in secolul al XII-lea,"a insemnat crearea lucrurilor".

Asa cum numaratoarea inzestreaza lucrurile cu identitate, tot ea impune si diferenta dintre ele. Trei oi sunt trei lucruri. In natura, numerele naturale sunt expresia diviziunii si a caracte rului distinct. La urma urmelor, intre numarul unu si numarul doi nu exista absolut nimic, asa cum nu exista nimic intre lucrurile care sunt distincte, oricat de mult s-ar putea asemana ele sub diferite aspecte. Caracterul discret al numerelor naturale este la fel de absolut ca si cel impus de suprafata pielii noastre, care permite contactul, dar, vai, nu si contopirea.

Exista, desigur, in lume si anumite entitati care nu pot fi numarate - noroiul, de exemplu. Cuvantul"noroi" pare sa desemneze fara deosebire noroiul oriunde se afla si sub orice forma. Dar impulsul intelectual de a subordona experienta numaratorii este atat de puternic, incat limba furnizeaza

16

DAVID BERLINSKI

instrumentele cu ajutorul carora pana si noroiul poate fi facut numarabil - o pata de noroi, un strop sau un morman, dupa care urmeaza o pata, doi stropi sau trei mormane. Aceleasi unu, doi si trei folosite la numararea oilor sunt, de asemenea, folosite in sortarea lor. Numerele naturale il ajuta pe ciobanul cu pielea tabacita, ai carui obraji supti se incretesc peste doi dinti de aur, sa-si ordoneze oile si totodata viata.

Prima este a mea, jupane, cum spun ciobanii, a doua este a ta si a treia este a lui.

ARTA SCRIBULUI

Sumerienii si-au istruit copiii in MAE cu peste cinci mii de ani in urma, pe cand soarele desertului era inca nou si nimic nu era inca vechi. Copiilor sumerieni le erau predate lucrurile de baza; profesorii lor sesizasera elementele esentiale. Nu le-a fost usor. Odata trecuti anii copilariei, scribii sumerieni au studiat ani buni pentru a scrijeli pe placute de argila registre fiscale, creante comerciale, coduri juridice, tranzactii imobiliare. Ei au lasat in urma lor dovada unei cunoasteri profunde a matematicii, pentru prima oara in istorie.

Nu aveau in nici un caz sentimentul suparator al inutilitatii meseriei lor.,, Arta scribilor", scria unul,"este mama invataturii".

Numai scribii, adauga el, puteau"sa scrie [sa graveze] o stela, sa traseze hotarele unui teren, sa faca socoteli".

Textul este apoi intrerupt.

Si urmeaza un cuvant izolat la stanga si la dreapta, care sugereaza maretia intelectuala a scribului:... palatul...

La sfarsitul mileniului al treilea i. Hr., imperiul sumerian a fost napadit de nisipurile desertului, invins pana la urma de timp. Purtata de vant, presupun, sau de vreun alt curent de gandire, cunoasterea profunda a MAE a fost dobandita de mandarinii chinezi, intoxicati de noua lor putere asupra pictogramelor, si

UNU, DOI, TREI

17

descoperita apoi din nou de catre babilonieni, astfel incat este prezenta pretutindeni in lumea antica.

Societatile au folosit MAE in felul lor si pentru propriile lor scopuri. Insa fiecareia i-a scapat cate ceva si nici o societate, nici macar a noastra, nu a cunoscut-o si nu o cunoaste pe deplin.

UN OM DEOSEBIT

Leopold Kronecker s-a nascut in 1823 la Liegnitz, un orasel din Prusia orientala. Cutremurat de sunetul tancurilor rusesti catre sfarsitul anului 1944, Liegnitz este acum cunoscut drept Legnica si se afla in Polonia. Prusia orientala a disparut.

Figura lui Kronecker nu este usor de distins intr-o fotografie.

Lumina puternica si expunerea prelungita au intunecat si adancit fiecare trasatura a fetei. Ridurile aspre sugereaza o legatura de sange nerecunoscuta intre Leopold Kronecker si generalul William Tecumseh Sherman. Cei doi barbati au fruntea inalta si parul tuns scurt, aproape en brosse*, ochii adanciti in orbite si melancolici. Prin toate aceste trasaturi, Kronecker este pe deplin prusac si auster, dar nasul lui si-a asumat o viata proprie, incon fundabila, curbandu-se mandru de la radacina spre varful coroiat.

Mentionez acest lucru nu ca sa fac haz de nasul altui om - la urma urmelor, si eu am un nas care ma da de gol-, ci pentru ca exprima intr-un fel capacitatea lui Kronecker de a se deosebi de alti matematicieni, desi face parte din randurile lor. Kro necker a fost un personaj rar in istoria gandirii, un sceptic matematic, care nu era dispus sa aprobe idei fara sa le inteleaga pe deplin si mereu grabit sa traga concluzia ca nu poate intelege pe deplin majoritatea ideilor. Daca Kronecker cel Ursuz s-a remarcat spunand nu - nu numerelor negative, nu numerelor

* Limba franceza, in original: periuta (n. tr.).

18

DAVID BERLINSKI

reale, nu multimilor -, s-a remarcat si prin aceea ca a spus da numerelor naturale, un mare da plin de vitalitate adresat acestor obiecte stravechi ale gandirii si experientei, un da care se revarsa ca un torent, cat sa cuprinda orice constructie mate matica ce revine la numerele naturale intr-o serie finita de pasi.

Kronecker, omul care a spus de o mie de ori nu, si Krone cker, omul unui singur da, se contopeau intr-o personalitate singulara: delicata, supla, impacata cu sine.

Pe cand nu implinise inca treizeci de ani, Leopold Kronecker a urmat o cariera in afaceri ca administrator al domeniilor unchiului sau, din Prusia orientala. Era deosebit de dotat pentru treburi practice si, in opt ani, a ajuns un om bogat. Ulterior, si-a cumparat in Berlin un conac superb si, dupa ce s-a casatorit cu fiica unchiului sau, Fanny Prausnitzer, l-a transformat intr-un centru de cultura si rafinament.

Bogatia l-a facut pe Kronecker sa fie indiferent fata de marele joc al catedrelor de matematica, pe care le ocupau mate maticienii de frunte ai Europei, privind cu jind cateva fotolii cu pernute care inca emanau caldura sezuturilor unor profesori raposati. Cand muzica se oprea, se incaierau necuviincios pentru locul vacant. Inevitabil, cei mai multi erau dezamagiti. Matema ticieni de geniu, precum Georg Cantor, au asteptat ani de zile sa fie chemati la Berlin si au fost amarnic de ofensati ca nu s-a intamplat asa.

Herr Kronecker nu a manifestat un foarte mare interes in a deveni Herr Professor. El nu avea nevoie sa se lupte pentru scaunul sau. Sau pentru cina sa. Ceea ce-i lipsea era dreptul de a tine prelegeri la Universitatea din Berlin, desi isi dorea foarte mult. Dedicat subiectelor legate de teoria numerelor, functiile eliptice si algebra, lucrarile lui erau remarcabile din toate punctele de vedere, fara sa fie in nici un fel revolutionare. Cand a fost ales membru al Academiei din Berlin, in 1861, a castigat dreptul de a preda la universitate.

Cuprins

Introducere 9

1 Numerele 15 Arta scribului 16 Un om deosebit 17 In orice minte omeneasca 19 Neveste, capre, numere 21 Lucrarea lui Dumnezeu 22

2 Pozitiile la putere 24 Un om pentru toate simbolurile 25 No tatia pozitionala 26

3 Multimi 30 Unica in felul sau 32 Paradox 33

4 Certitudine 34 Nimic din ce este omenesc nu este sIgur 35 O exceptie fata de observatia lui Ovidiu 36 Cel mai mare 38 Ce-ar fi daca... 39 Punctul de echilibru 41

5 Un maestru glacial 45 Ruina 48

6 Axiome pentru numere 51 Al doilea congres international 53 Axiomele lui Peano 54 Il gattopardo 57

7 Succesiunea 59 Pornind de la zero, adunand cate unu 61 O moarte amanata 63 Jos cu Euclid 64

8 Adunarea 67

9 Definitia regresiva 71 O notatie inedita 72 Trei conditii 75 In spatiu si timp 76 Patru plus trei 77

10 Inmultirea 80 Definitia inmultirii 82 Produsul dintre trei si doi 84 Ridicarea la putere 84 Puterea exponentiala 86

11 Marele dictionar 89 De la baza zece 91

210

CUPRINS

12 Recursivitatea 93 Cuvenite multumiri 95 Detasarea 96 Teo rema recursivitatii 97 Ce face 99

13 Oamenii legii 100 Cum se schimba lucrurile 101 Un englez in dependent 102 Al patrulea wrangler 103

14 Matematica procedurala 105 Actorii principali 106

15 Fratia transcendentala 112 Inductia 112 Caderea pieselor de do mino 114 Roata cu clic het 115 Buna ordonare 118

16 Fervoare 121

17 Demonstratia 126

18

Cealalta fata a lui zero 131 Pierre 134 Distante 135

Partea intunecata 132 Datorii 136

Ghinion,

19 Extragerea 139 O simetrie distrusa 140 Sistemul numerelor intregi 141 O identitate negativa 142

20 Fiorul 145 Algebra 146 Vechime 146 Noutate 147 Mij loace de ascensiune 148 Der Nother 150

21 Esenta inele lor 154 Inelul 156 Conditiile 157 Traducerea 157 O acumulare de afirmatii 157 Schita rapida, fara unele detalii 158

22 Limbajul semnelor 161 O aliniere efemera 165 Partea cea lalta 166

23 Din lumea antica si inapoi 168 Identificarea indirecta 169 Dublu sens 171 Comunitatea de interese 172 Inelul polinoa melor 174 Importanta identitatii 175 Toate posturile de fron tiera 177

24 Impartirea, ultima operatie 180 Parte dintr-un intreg 181 Unu pentru doi 182 Ce nu sunt fractiile 184 Pe de o parte 185 Pe de alta parte 186 Contra mundum 189

25 Campul numerelor 193 Dumnezeu stie cum 194 Identitate si invers 196 N-a mai ramas nimic de demonstrat 198 Sfarsitul povestii 201

Concluzii 203

Multumiri 207



Pagini: 216
An aparitie: 2013
Format: 13x20 cm
Traducere: Dan Craciun, Ileana Craciun